Algebra foundations¶
代数基础
[Overview and history of algebra]¶
代数概述和历史
Origins of algebra¶
代数的起源
代数起源可以追溯到公元前的古巴比伦时代。公元后，希腊数学家丢番图、波斯数学家花拉子米。
Abstract-ness¶
抽象性
什么是抽象：将现实的物体本质提取出来，从而将其引向思想和概念的世界。 比如色子、魔方可以抽象成正方体；狗可以抽象成“DOG”这个单词；五根棍子可以抽象成“5”这个数字。
The beauty of algebra¶
代数之美
伽利略：「世界是一本以數學語言寫成的書」
编程语言里的变量就是代数的概念，有了代数我们可以将一些实际的数值抽象成变量，用变量构成方程式进行计算和变换。
\(f = m·a\)
代数被广泛用于各种学科：经济学、金融学、逻辑学、工程学、计算机科学等。
Intro to the coordinate plane¶
坐标平面简介
「我思故我在」——笛卡尔 “You just keep pushing. You just keep pushing. I made every mistake that could be made. But I just kept pushing.” ― René Descartes
例如这个方程式：\(y = 2x-1\)，x 和 y 的关系可以列出一个表格：
| x | y |
|---|---|
| -2 | -5 |
| -1 | -3 |
| 0 | -1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
用 Google 搜索可以得到坐标图：
Why all the letters in algebra?¶
为什么所有字母都在代数中？
字母只是用来代替未知数字的符号，你也可以用其他除了数字的字符来表示。
[Introduction to variables]¶
变量介绍
What is a variable?¶
什么是变量？
变量是用来代替变化的值的符号。
Why aren't we using the multiplication sign?¶
为什么不用乘法符号？
\(x\) 是最常用的符号，乘法符号 × 和 x 过于相似，容易造成误解。
在代数中，使用 ·(dot) 代替乘号。下列式子在 \(x\) 是符号的情况下是相等的：
$$
2·x = 2(x) = 2x
$$
Evaluating an expression with one variable¶
用一个变量求表达式？
直接将数字带入未知数符号即可。
[Substitution and evaluating expressions]¶
替换和评估表达式
Evaluating expressions with two variables¶
用两个变量求表达式
Evaluate \(6a+4b-6\) when \(a=1\) and \(b=3\)
Evaluate \(5x-\frac{x}{y}\) when \(x=4\) and \(y=2\)
Evaluating expressions with two variables: fractions & decimals¶
用两个变量计算表达式：分数和小数
Evaluate \(\frac{3}{2}y-3+\frac{5}{3}z\) when \(y=4\) and \(z=3\)
Evaluate \(13-0.5w+6x\) when \(w=10\) and \(x=\frac{1}{2}\)
[Combining like terms]¶
合并类似的项
Intro to combining like terms¶
合并类似的项简介
\(7y+2x+3x+2y=5x+9y\)
上述的 7、2、3等数字叫做**系数(coefficient)**
\(2x+1+7x+5=9x+6\)
Combining like terms with negative coefficients & distribution¶
将相似项与负系数和分配律相结合
\(2(3x+5)=6x+10\) $$ 7(3y-5)-2(10+4y)\=21y-35-20-8y\=13y-55 $$
Combining like terms with negative coefficients¶
将类似项与负系数组合 $$ -3y+4xy-2x2+2x+y2-4xy+2y+3x^2 \ -3y+2y+4xy-4xy-2x2+3x2+2x+y^2 \ -y+x2+2x+y2 $$
Combining like terms with rational coefficients¶
将相似项与有理系数组合
\(-5.55-8.55c+4.35c=-5.55-4.2c\) $$ \frac{2}{5}m-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}m \ \frac{2}{5}m-\frac{3}{5}m-\frac{4}{5} \ -\frac{1}{5}m-\frac{4}{5} $$
Introduction to equivalent expressions¶
等效表达式简介
Equivalent expressions¶
factor out 2
Division by zero¶
除以零
Why dividing by zero is undefined¶
为什么除以零是未定义的 $$ \frac{1}{0.000001}=1,000,000 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{0}=+∞ \ \frac{1}{-0.000001}=-1,000,000 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{0}=-∞ \ \therefore \frac{1}{0}=undefined $$
Tips: 在 JavaScript 中
1/0 => Infinity1/-0 => -Infinity
The problem with dividing zero by zero¶
用零除零的问题 $$ \frac{-0.000001}{-0.000001}=1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{0}{0}=1 \ \frac{0}{-0.000001}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{0}{0}=0 \ \therefore \frac{0}{0}=undefined $$
Tips: 在 JavaScript 中
0/0 => NaN
Undefined & indeterminate expressions¶
未定义和不确定的表达式
假设 \(x{\div}y{\times}y=x;\quad x{\cdot}0=0\)
假设 \(x \ne 0\) $$ \frac{x}{0}=k \ \frac{x}{0}\cdot0=k\cdot0 \ x=0 $$
\(x=0\) 有悖于上述假设（悖论），所以只有当 \(x\) 为 \(undefined\) 时，等式才成立
假设 \(x=0\) 也就是 \(\frac{0}{0}=k\) $$ \frac{0}{0} \cdot 0 = k \cdot 0 \ 0 = k \cdot 0 $$
True for ANY \(k\),Cannot determine \(k\)
\(k\) 可能是任意值，不可能确定 \(k\) 的值，所以 \(k\) 是未定义的（\(undefined\)）。